已知数列{an}的首项为1，f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn（n∈N+）．（1）若{an}为常数列，求f（4）的值；（2）若{an}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{an}能否成等差数-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项为1，f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn（n∈N+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项为1，f(n)=a1

C

1n

+a2

C

2n

+…+ak

C

kn

+…+an

C

nn

（n∈N₊）．
（1）若{a_n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a_n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a_n}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立．若能，求出数列{a_n}的通项公式；若不能，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵{a_n}为常数列，且首项为1，故有a_n=1，
∴f（4）=

C

14

+

C

24

+

C

34

+

C

44

=15．
（2）若{a_n}为公比为2的等比数列，则a_n=2^n-1，（n∈N₊）．
f(n)=a1

C

1n

+a2

C

2n

+…+ak

C

kn

+…+an

C

nn

=

C

1n

+21

C

2n

+…+2k-1

C

kn

+…+2n-1

C

nn

，
故1+2f（n）=1+

2C

1n

+22

C

2n

+…+2k

C

kn

+…+2n

C

nn

=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴f（n）=

3n-1

2

．
（3）假设数列{a_n}能否成等差数列，使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立．
设公差为d，则 f(n)=a1

C

1n

+a2

C

2n

+…+ak

C

kn

+…+an

C

nn

①，
且 f(n)=an

C

nn

+an-1

C

n-1n

+…+an-k

C

n-kn

+…+a1

C

1n

②，
把①、②相加可得 2f（n）=2a_n+（a₁+a_n-1）（

C

1n

+

C

2n

+

C

3n

+…+

C

n-1n

）
∴f（n）=a_n+

a1+an-1

2

（

C

1n

+

C

2n

+

C

3n

+…+

C

n-1n

）
=a_n+

a1+an-1

2

（2ⁿ-2）=1+（n-1）d+[2+（n-2）d]（2^n-1-1）．
∴f（n）-1=（d-2）+[2+（n-2）d]]?2^n-1=（n-1）2ⁿ恒成立．
即（d-2）+（d-2）?[n+2]?2^n-1=0 n∈N₊都成立，∴d=2，
故存在数列{a_n}使得f（n）-1=（n-1）2ⁿ对一切n∈N₊都成立，且通项公式为a_n=2n-1．（其它方法相应给分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项为1，f(n)=a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn（n∈N+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：