已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y=-12．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y=-

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

试题来源：深圳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y=-

1

2

．
∴f（1）=1+a+b=-

1

2

，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f（x）=x³-

3

2

x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-

3

2

x²=0，可得x=0或x=

3

2

，
∴0＜m＜

3

2

时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥

3

2

时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3-

3

2

m2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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