已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′（x）（Ⅰ）设a=f′（2），b=f′（1），c=f′（0），求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设f′（x）=（x-γ）（x-β），且1＜γ≤β＜2，求f′（1）?f′（2）-数学试题及答案

1、试题题目：已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=

x3

3

+

a

2

x2+bx+c的导函数为f′（x）
（Ⅰ）设a=f′（2），b=f′（1），c=f′（0），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设 f′（x）=（x-γ）（x-β），且1＜γ≤β＜2，求f′（1）?f′（2）的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得，f′（x）=x²+ax+b．
∴

4+2a+b=a

1+a+b=b

b=c

，
解得：

a=-1

b=c=-3

．
∴f(x)=

x3

3

-

1

2

x2-3x-3．
（II）∵f′（x）=（x-γ）（x-β）．
又 1＜γ≤β＜2，
∴f′（1）=（1-γ）（1-β）＞0，f′（2）=（2-γ）（2-β）＞0
∴f′（1）?f′（2）=（1-γ）（1-β）（2-γ）（2-β）
=[（γ-1）（2-γ）]?[（β-1）（2-β）]≤(

γ-1+2-γ

2

)2?(

β-1+2-β

2

)2=

1

16

∴0＜f′(1)?f′(2)≤

1

16

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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