已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）记g(x)=f(x)x+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f′（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴

f′(1)=0

f(1)=2

?

3a+c=0

a+c=2.

解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，
∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1

2

＜x＜

k+1

2

，
结合x＞0，得0＜x＜

k+1

2

；
令g'（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），x＞

k+1

2

，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，

k+1

2

），
单调递减区间为（

k+1

2

，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，

k+1

2

），
单调递减区间为（

k+1

2

，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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