已知点P在曲线C：y=1x(x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为xA、xB，记f（t）=xA?xB．（1）求f（t）的解-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P在曲线C：y=1x(x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知点P在曲线C：y=

1

x

(x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A?x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足a1=1，an=f(

an-1

) (n≥2 且 x∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=

1

x

，
∴y′=-

1

x2

，
∴切线方程为y-

1

t

=-

1

t2

(x-t)，
与y=kx联立得：xA=

2t

kt2+1

，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A?x_B，
∴f(t)=

4t2

kt2+1

（k＞0，t＞1）．
（2）由an=f(

an-1

)得：an=

4an-1

kan-1+1

，

1

an

=

kan-1+1

4an-1

=

1

4

?

1

an-1

+

k

4

，
设bn=

1

an

-

k

3

，
则bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1，
∵a₁=1，
∴①当k=3时，b1=

1

a1

-1=0，
∴{b_n}是以0为首项的常数数列，
∴a_n=1．
②当k≠3时，{b_n}是以1-

k

3

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴bn=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，
解得an=

3?4n-1

k?4n-1+3-k

，
由①②，得an=

3?4n-1

k?4n-1+3-k

．
（3）∵an-

3

k

=

3?4n-1

k?4n-1+3-k

-

3

k

=

3k-9

k(k?4n-1+3-k)

=

3k-9

k2?4n-1+k(3-k)

，
∵1＜k＜3，
∴an-

3

k

＞

3k-9

k2

?

1

4n-1

，
∴a1+a2+…+an-

3n-8k

k

=（a1-

3

k

）+（a2-

3

k

）+…+（an-

3

k

）
=

3k-9

k2

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)+8
=

4(k-3)

k2

[1-(

1

4

)n]+8
＞

4(k-3)

k2

+8
=

4(2k+3)(k-1)

k2

，
∵1＜k＜3，
∴

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0．
∴a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P在曲线C：y=1x(x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：