设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=a+

b

x2

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
∴f（2）=

1

2

∴a+

b

4

=

7

4

，2a-

b

2

=

1

2

∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式为f（x）=x-

3

x

；
（Ⅱ）设（x₀，x₀-

3

x0

）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+

3

x02

，
∴切线方程为y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，可得y=-

6

x0

由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x₀
∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值

1

2

×|2x₀|×|-

6

x0

|=6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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