定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x1，x2处取得极值，且|x1-x2|=4．（1）求f（x）表达式；（2-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x₁，x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（1）求f（x）表达式；
（2）求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（3）求证：?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，即f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴d=0，b=0，
又函数f（x）的图象过点P（3，-6），∴9a+c=-2，
f（x）=ax³+bx²+cx=0两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4，
∴

4b2-12ac＞0

x1+x2=-

2b

3a

x1x2=

c

3a

?

ac＜0

x1x2=0

x1x2=

c

3a

=-4

又|x₁-x₂|²=

4b2

9a2

-

4c

3a

=16，c=-12a
∴a=

2

3

，b=0，c=-8，d=0，
∴f（x）=

2

3

x3-8x；
（2）f′（x）=2x²-8，f′（3）=18，
∴切线方程为：10x-y-36=0；
（3）当-2≤x≤2时，f′（x）=2x²-8≤0，∴f（x）在[-2，2]上递减，
又?α∈R，-2≤2cosα≤2，∴-

32

3

≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=

32

3

，
同理，-

32

3

≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=

32

3

，
∴?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：