已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-1，…（2分）
依题意f'（1）=f'（2）=0，即

3a+2b-1=0

12a+4b-1=0

解得a=-

1

6

，b=

3

4

…（4分）
∴f(x)=-

1

6

x3+

3

4

x2-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，
即

1

6

x3-

3

4

x2-2x-m=0在[-2，0]上有两个不同的实数解 …（6分）
设φ（x）=

1

6

x3-

3

4

x2-2x-m，则φ′（x）=

1

2

x2-

3

2

x-2，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
当x∈（-2，-1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上递增；
当x∈（-1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上递减．…（10分）
依题意有

φ(-2)≤0

φ(-1)＞0

φ(0)≤0

?

m≥-

1

3

m＜

13

12

m≥0

?0≤m≤

13

12

∴实数m的取值范围是0≤m＜

13

12

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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