已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1an=kn+1，（Ⅰ）求证：k=1；（Ⅱ）设g(x)=anxn-1(n-1)!，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；（Ⅲ）求证：不等-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且

an+1

an

=kn+1，
（Ⅰ）求证：k=1；
（Ⅱ）设g(x)=

anxn-1

(n-1)!

，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求证：不等式f(2)＜

3

n

g(3)对n∈N₊恒成立．

试题来源：韶关三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：∵

an+1

an

=kn+1，
∴

a2

a1

=a2=k+1，
又∵a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)
则a₃a₁=a₂a₁+a22，即

a3

a2

=a2+1，又

a3

a2

=2k+1，∴a₂=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵

an+1

an

=n+1，∴an=

an

an-1

?

an-1

an-2

…

a2

a1

?a1=n?（n-1）…2?1=n!
∵g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1
∴当x=1时，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．
得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn
∴f（x）=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

综上所述：f(x)=

n(n+1)

2

，x=1

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

，x≠1

．
（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，
则f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n?2n

1-2

=（n-1）?2ⁿ+1，
又

3

n

g(3)=3n，下面利用数学归纳法证明：不等式f(2)＜

3

n

g(3)对n∈N₊恒成立．
易验证当n=1，2，3时不等式恒成立；
假设n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1
两边乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k?2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2
又因为3（k-1）2^k-k?2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0
所以3^k+1＞k?2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k?2^k+1+1
即n=k+1时不等式成立．
故不等式恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)，且an+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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