已知f(x)=lnx，g(x)=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=lnx，g(x)=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知f(x)=lnx，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．
∴

g(1)=0

g′(1)=1

，∴

m=-1

n=

1

6

，…（4分）
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（9分）
令h′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍）…（10分）
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＞

1

2

时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）
因此，当x=

1

2

时，h（x）取得极大值，
∴[h（x）]_极大=h(

1

2

)=ln

1

2

+

1

4

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=lnx，g(x)=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：