设x1、x2∈R，规定运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2+（x1-x2）2．（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求动点P（x，a*x）的轨迹c；（Ⅱ）设P（x，y）是平面内任意一点，定义：d1（p）=12(x*x)+(y*y)，d2（p）=12(x-a)*(x-a-数学试题及答案

1、试题题目：设x1、x2∈R，规定运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2+（x1-x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

设x₁、x₂∈R，规定运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求动点P（x，

a*x

）的轨迹c；
（Ⅱ）设P（x，y）是平面内任意一点，定义：d₁（p）=

1

2

(x*x)+(y*y)

，d₂（p）=

1

2

(x-a)*(x-a)

，问在（Ⅰ）中的轨迹c上是否存在两点A₁、A₂，使之满足d₁（A_i）=

a

?d2(Ai）（i=1、2），若存在，求出a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵x1*x2=(x1+x2)2+(x1-x2)2=2(x12+x22)
∴当x≥0时，设P（x，y），则y=

a*x

=

2(a2+x2)

，
∴y²=2（a²+x²）（y＞0）化简得

y2

2a2

-

x2

a2

=1（x≥0，y＞0），
所求轨迹c是实半轴长为

2

a、虚半轴长为a，焦点在y轴上的双曲线，
在第一象限内的一部分（包括上顶点(0，

2

a)）…6′
（Ⅱ）d1(p)=

1

2

(x*x)+(y*y)

=

x2+y2

，d2(p)=

1

2

(x-a)*(x-a)

=|x-a|．
假设存在两点A₁、A₂，使得d1(Ai)=

a

?d2(Ai)（i=1、2），即

x2+y2

=

a

?|x-a|．
∴x²+y²=a?（x-a）²，
又∵y²=2（a²+x²），∴x²+2（a²+x²）=a?（x-a）²，
即（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0有两非负实数根．…10′
∴

△=4a4-4(a-3)?a2?(a-2)＞0

x1+x2=

2a2

a-3

＞0

x1?x2=

a2(a-2)

a-3

≥0

?a＞3
故当a＞3时，存在适合条件的两点．…13′．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1、x2∈R，规定运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2+（x1-x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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