点P为圆O：x2+y2=a2（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程；（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大-数学试题及答案

1、试题题目：点P为圆O：x2+y2=a2（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

点P为圆O：x²+y²=a²（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若动直线l与曲线C交于A、B两点，当△OAB（O是坐标原点）面积取得最大值，且最大值为1时，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），M（x，y），由

x=x0

y=

1

2

y0

，得

x0=x

y0=2y

，…（2分）
代入x²+y²=a²，得

x2

a2

+

y2

a2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）①当l斜率不存在时，设x=t，由已知得-a＜t＜a，
由

x2+4y2=a2

x=t

，得y2=

a2-t2

4

所以S△OAB=

1

2

×2|y|×|x|=|t|?

a2-t2

2

=

(a2-t2)t2

2

≤

a2

4

，
当且仅当t²=a²-t²，即|t|=

2

a时，等号成立．
此时S_△OAB最大值为

a2

4

．…（5分）
②当l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
由

x2+4y2=a2

y=kx+m

，消去y整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-a²=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-a²）=4[4k²+a²-4m²]
由△＞0，得4k²a²+a²-4m²＞0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 x1+x2=

-8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-a2

4k2+1

②…（7分）

|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(

-8km

4k2+1

)2-4?

4m2-a2

4k2+1

]

=

2

4k2+1

?

(1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]

③
原点到直线l距离为 d=

|m|

1+k2

，④…（9分）
由面积公式及③④得

S△OAB=

1

2

×|AB|d=

1

2

?

2

4k2+1

?

(1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]

|m|

1+k2

=

1

2

?

4m2

1+4k2

(a2-

4m2

1+4k2

)

≤

1

2

?

4m2

1+4k2

+(a2-

4m2

1+4k2

)

2

=

a2

4

，

…（11分）
综合①②，S_△OAB的最大值为

a2

4

，由已知得

a2

4

=1，所以 a=2．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“点P为圆O：x2+y2=a2（a＞0）上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：