发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00
试题原文 |
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(1)∵an+1=
∴
即
令bn=
因此,数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列. bn=2+(n-1)?1=n+1,…(5分) ∴an=
(2)(方法一)先证明当n∈N*时,en-1≥n. 设f(x)=ex-1-x,x∈[1,+∞),则f'(x)=ex-1-1, ∵当x>1时,f'(x)>0 f(x)在(1,+∞)上是增函数,则当x≥1时,f(x)≥f(1)=0,即ex-1≥x.…(8分) 因此,当n∈N*时,en-1≥n,an=
当n∈N*时,n+1<en,an=
∴Sn=a1+a2+…+an≤(1-
…(12分) ∴Tn=a1?a2?a3?…?an>e-1?e-3?e-5?…?e-(2n+1)=e-[1+3+5+…+(2n-1)]=e-n2. …(14分) (方法二)数学归纳法证明 (1)∵S1=a1=
∴当n=1时,Sn≤
∵T1=a1=
又∵e>2,∴
∴当n=1时,Tn>e-n2成立. …(8分) (2)设n=k时命题成立,即Sk≤
当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1≤
要证Sk+1≤
化简,即证ek≥k+1. …(9分) 设f(x)=ex-x-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=ex-1, ∵当x>0时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,则当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1. 因此,不等式ek≥k+1成立,即当n=k+1时Sn≤
当n=k+1时,Tk+1=Tk?ak+1>e-k2?
要证Tk+1>e-(k+1)2,即证
化简,即证ek+1>k+2. 根据前面的证明,不等式ek+1>k+2成立,则n=k+1时Tn>e-n2成立. 由数学归纳法可知,当n∈N*时,不等式Sn≤
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}满足:a1=12,an+1=anenan+e,n∈N*(其中e为自然对数的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。