已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（n+1n）2an（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=（An2+Bn+C）?2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常数A、B、C的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（n+1n）2an（1）求数列{an}的通项公式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（An²+Bn+C）?2ⁿ，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N^*，均有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）?2ⁿ，（ n∈N^*）

试题来源：虹口区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得：
a2=2(

1+1

1

) 2a1?a2=2(

2

1

) 2a1
a3=2(

2+1

2

) 2a2?a3=2(

3

2

) 2a2
…
an=2(

n-1+1

n-1

) 2an-1?an=2(

n

n-1

) 2an-1
将这n-1个式子相乘，得a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ?n²，
（2）∵b_n=（An²+Bn+C）?2ⁿ∴b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）?2ⁿ⁺¹∴b_n+1-b_n=（A（n+1）²+B（n+1）+C）?2ⁿ⁺¹-（An²+Bn+C）?2ⁿ=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）?2ⁿ若a_n=b_n+1-b_n成立，则2ⁿ?n²=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）?2ⁿ对一切正整数n都成立
∴An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²∴

A=1

4A+2B=0

2A+2B+C=0

?A=1，B=-4，C=6；
（3）用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a₁=2≤（1²-2×1+2）?2¹：=2，式子成立
当n≥2时，设n=k时不等式成立，
即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）?2^k成立，则
a₁+a₂+…+a_k+a_k+1≤（k²-2k+2）?2^k+2^k+1?（k+1）²
而（k²-2k+2）?2^k+2^k+1?（k+1）²=2^k+1[（

1

2

k²-k+1）+（k²+2k+1）]
=2^k+1（

3

2

k²+k+2）
并且2^k+1（

3

2

k²+k+2）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）?2^k+1，
∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）?2^k+1即n=k+1时不等式成立，
综上所述，可得对任意 n∈N^*，a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）?2ⁿ总成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（n+1n）2an（1）求数列{an}的通项公式..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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