设数列{an}的首项a1=12，且an+1=2an1+an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）根据上述结果猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的首项a1=12，且an+1=2an1+an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的首项a1=

1

2

，且an+1=

2an

1+an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据上述结果猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a2=

2

3

，a3=

4

5

，a4=

8

9

…（2分）
（2）猜想an=

2n-1

2n-1+1

，（n∈N^*）…（2分）
证明：①当n=1时，左边=a₁，右边=

21-1

21-1+1

=

1

2

，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时有ak=

2k-1

2k-1+1

成立
则当n=k+1时，左边=

2ak

1+ak

=

2?

2k-1

2k-1+1

1+

2k-1

2k-1+1

=

2k

2k+1

=右边．故猜测也成立．
由①②可得对一切n∈N^*，数列{a_n}的通项公式为an=

2n-1

2n-1+1

（n∈N^*）…（4分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的首项a1=12，且an+1=2an1+an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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