正项数列{an}，其前n项和为Sn并且满足：an+12-an2=2n（Sn+1-Sn+an）且a1=1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式．（II）若bn=anan+1，判断数列{bn}的单调性，并证明之．-数学试题及答案

1、试题题目：正项数列{an}，其前n项和为Sn并且满足：an+12-an2=2n（Sn+1-Sn+an）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

正项数列{a_n}，其前n项和为S_n并且满足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若bn=

an

an+1

，判断数列{b_n}的单调性，并证明之．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
∴（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2ⁿ（a_n+1+a_n），
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（II）bn=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

，此数列是增数列．用数学归纲法证明如下：
（1）b2-b1=

22-1

23-1

=

3

7

＞0，∴b₂＞b₁．
（2）假设b_k＞b_k-1，即

2k-1

2k+1-1

-

2k-1-1

2k-1

＞0，
则

2k+1-1

2k+2-1

-

2k-1

2k+1-1

=

2?2k-1

2?2k+1-1

-

2?2k-1-1

2?2k-1

＞0，
即b_k+1＞b_k．
由（1）、（2）知，bn=

an

an+1

是增数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正项数列{an}，其前n项和为Sn并且满足：an+12-an2=2n（Sn+1-Sn+an）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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