已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查①a1?1a1≥1；②(a1+a2)(1a1+1a2)≥4；③(a1+a2+a3)(1a1+1a2+1a3)≥9．归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查①a1?1a1≥1；②(a1+a2)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1?

1

a1

≥1；
②(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
③(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
归纳出对a₁，a₂，…，a_n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

结论：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²…（3分）
证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）
②假设当n=k时，不等式成立，
即：（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）≥k²…（7分）
那么，当n=k+1时，
（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

+

1

ak+1

）
=（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+a_k+1（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+

1

ak+1

（a₁+a₂+…+a_k）+1
≥k²+（

ak+1

a1

+

a1

ak+1

）+（

ak+1

a2

+

a2

ak+1

）+…+（

ak+1

ak

+

ak

ak+1

）+1
≥k²+2k+1
=（k+1）²
即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）
由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查①a1?1a1≥1；②(a1+a2)..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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