求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．-数学试题及答案

1、试题题目：求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
当n=2时，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，当n=2时成立
假设n=k时成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
当n=k+1时，则：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故当n=k+1时，不等式也成立
综上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“求证：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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