已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，Sn=b12+b22+…+bn2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：Sn＜14．-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a1=3，

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

(n∈N*)，设bn=

1

an

，S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：Sn＜

1

4

．

试题来源：重庆一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

，
∴a_n+1²-a_n²=8（n+1）
∴a_n²=（a_n²-a_n-1²）+（a_n-1²-a_n-2²）+…+（a₂²-a₁²）+a₁²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）²∴a_n=2n+1．…（5分）
（II）

b

2n

=

1

a

2n

=

1

(2n+1)2

＜

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)∴Sn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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