在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=an?an+1an+an+1，求证：对?n∈N*，都有b1+b2+…bn＜3n-13．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中a1=

1

2

，a2=

1

5

，且an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
（1）求a₃、a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an?an+1

an

+

an+1

，求证：对?n∈N^*，都有b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a1=

1

2

，a2=

1

5

，an+1=

(n-1)an

n-2an

(n≥2)
∴a₃=

1

8

，a₄=

1

11

，
猜想an=

1

3n-1

，利用数学归纳法证明如下：
①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；
②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=

1

3k-1

则n=k+1时，ak+1=

(k-1)ak

k-2ak

=

(k-1)?

1

3k-1

k-2?

1

3k-1

=

k-1

(3k+2)(k-1)

=

1

3(k+1)-1

∴n=k+1时，结论成立
综上，an=

1

3n-1

；
（2）证明：bn=

an?an+1

an

+

an+1

=

1

3

（

3n+2

-

3n-1

）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

5

-

2

）+（

8

-

5

）+…+（

3n+2

-

3n-1

）]=

1

3

（

3n+2

-

2

）
要证b₁+b₂+…b_n＜

3n-1

3

，只需证明

1

3

（

3n+2

-

2

）＜

3n-1

3

即证

3n+2

-

2

＜

3n-1

即证3n+2-2

6n+4

＜3n-1
即证

6n+4

＞

3

2

，显然成立
∴b₁+b₂+…+b_n＜

3n-1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：