已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．（1）求和：a1C20-a2C21+a3C22，a1C30-a2C31+a3C32-a4C33；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．（1）求和..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
（3）设q≠1，S_n是等比数列{a_n}的前n项和，求：S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁-2a₁q+a₁q²=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁（1-q）²a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³=a₁（1-q）³；
（2）归纳概括的结论为：若数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
则a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³++（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，n为正整数
证明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ；
∴左边=右边，该结论成立．
（3）∵数列{a_n}（n为正整数）是首项是a₁，公比为q的等比数列，而且q≠1．
∴Sn=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
∴S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ
=

a1

1-q

[（1-q）c_n⁰-（1-q²）c_n¹+（1-q³）c_n²-（1-q⁴）c_n³+…+（-1）ⁿ（1-qⁿ⁺¹）c_nⁿ]
=

a1

1-q

[

C

0n

-

C

1n

+

C

2n

-

C

3n

++(-1)n

C

nn

]-

a1q

1-q

[

C

0n

-q

C

1n

+q2

C

2n

-q3

C

3n

++(-1)nqn

C

nn

]
=

a1q

q-1

(1-q)n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．（1）求和..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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