数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．（I）求出a2，a3，a4；（II）求数列{an}的通项公式；（III）求证：SnSn+2＜S2n+1．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．（I）求出a2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求证：S_nS_n+2＜

S

2n+1

．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8      …（3分）
（II）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*．         （1）
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*．    （2）
（1）-（2）得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1…（8分）
（III）证明：∵S_n=2a_n-1=2ⁿ-1，
∴S_nS_n+2=（2ⁿ-1）?（2ⁿ⁺²-1）=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1，

S

2n+1

=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+1
∵2ⁿ＞0
∴S_nS_n+2＜

S

2n+1

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．（I）求出a2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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