已知函数f（x）=﹣ex+kx+1，x∈R．（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=﹣ex+kx+1，x∈R．（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=﹣e^x+kx+1，x∈R．
（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．

试题来源：黑龙江省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由k=2e得f（x）=﹣e^x+2ex
所以f'（x）=﹣e^x+2e．
由f'（x）＞0得x＜ln2+1，
故f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1+ln2）
由f'（x）＜0得x＞ln2+1，
故f（x）的单调递减区间是（1+ln2，+∞）
（2）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＜1对任意x∈R成立
等价于f（x）＜1对任意x≥0成立．
由f'（x）=﹣e^x+k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=﹣e^x+k＜﹣1+k≤0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递减，
故f（x）≤f（0）=0＜1，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，当x变化时f'（x），f（x）变化情况如下表：

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≤f（lnk）=﹣elnk+klnk+1．
依题意，﹣elnk+klnk+1＜1，
又k＞1，
∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=﹣ex+kx+1，x∈R．（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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