函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．

试题来源：山东省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）f'（x）=3x²﹣（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2﹣a
g'（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2﹣a）×1=﹣1
∴a=3
∴f'（1）=﹣1 f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0
（II）由F（x）=x³﹣（a+1）x+a﹣xlnx
得F'（x）=3x²﹣（a+1）﹣lnx﹣1=3x²﹣lnx﹣a﹣2
∵F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增
∴F'（x）≥0恒成立即a≤3x²﹣lnx﹣2
令h（x）=3x²﹣lnx﹣2

令h'（x）＞0得

，
令h'（x）＜0得

∴

∴a的范围为（-∞，

）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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