如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a（x∈[0，1]）．若对任-数学试题及答案

1、试题题目：如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，AC于M，N两点．设

，

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式及其定义域；
（2）设g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若对任意的

，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

试题来源：江苏期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）因为

又

，
所以

又M，G，N三点共线，所以

=3
解之得：

（2）设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，则A

B，
因为

，在

上单调递减，
所以

因为g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），
所以g'（x）=3x²+3a²≥0恒成立，所以g（x）在[0，1]上单调递增，
所以B=[2a，3a²+2a+1]，
从而

解得：

或0

所以a的取值范围是

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，G为△ABC的重心，AD为BC边上的中线．过G的直线MN分别交边AB，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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