已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)=

f(x)

x

(x∈M)的零点个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)=3ax2+b，

f′(-1)=3a+b=0

f(-1)=-a-b+1=3

，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)=

f(x)

x

=x2+

1

x

-3，g′(x)=2x-

1

x2

，
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(-2)=

1

2

，g(-1)=-3
∴函数g(x)=

f(x)

x

，x∈M的零点有且仅有1个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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