方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于_____

1、试题题目：方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

方程

1

x-1

=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设 f（x）=

1

x-1

，g（x）=2sinπx，此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点（1，0）成中心对称．
函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域为{x|x≠1}，
函数g（x）的值域为[-2，2]，定义域为R，最小正周期为2．
在区间[0，2]上，两个函数无交点，应用介值定理，可以得到第一个交点x₀∈[2，

9

4

]．
从x=2开始，在每个周期上，f（x）和 g（x）都有两个交点，相对应的，在区间[-2010，0]上，
两个函数有和区间[2，2012]上相同多的交点．
在区间[2，2012]上，函数g（x）共有1005个周期，因此和函数f（x）有2010个交点，
因此在区间[-2010，0]上也有2010个交点，
且对每一个交点，相对于（1，0）中心对称的点也是两个函数的交点．
而每对这样的交点之和为2，即若m是两个函数的一个交点的横坐标，则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标，
因为一共有2010对这样的交点．
所以，在区间[-2010，2012]上，两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010，2012]所有根之和等于______．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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