已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

y=ax2+bx+c

y=-bx

消去y，得 ax²+2bx+c=0．
△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4（a²+ac+c²）=4（a+

c

2

）²+3c²．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴

3

4

c²＞0，∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点．
（2）设方程ax²+2bx+c=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=-

2b

a

，x₁x₂=

c

a

．
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(-

2b

a

)2-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得

c

a

∈（-2，-

1

2

）．
∵f(

c

a

)=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]的对称轴方程是

c

a

=-

1

2

，且当

c

a

∈（-2，-

1

2

）时，为减函数，
∴A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（

3

，2

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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