设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）当a=38时，判断方程f（x）=-14的实数根的个数，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=

3

8

时，判断方程f（x）=-

1

4

的实数根的个数，并说明理由．

试题来源：未央区三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

．
∵f（x）=ax³+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x²+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为

△=4-8a＞0

2-2+a＞0

，
解得0＜a＜

1

2

；

（2）由a=

3

8

可知x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

，从而知函数f（x）在（-1，-

3

4

）上单调递增，在（-

3

4

，-

1

4

）上单调递减，在（-

1

4

，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-

3

4

]上连续、单调递增，且
f（-

3

4

）=（-

3

4

）²+

3

8

ln（-

3

4

+1）=

9

16

-

3

4

ln2＞-

1

4

，
以及f（-1+

1

e4

）=（-1+

1

e4

）²+

3

8

ln（

1

e4

）=-

1

2

-

2

e4

+

1

e8

＜-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-1，-

3

4

]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-

3

4

，-

1

4

）上单调递减，在（-

1

4

，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-

3

4

，+∞）上的最小值，
f（-

1

4

）=（-

1

4

）²+

3

8

ln（-

1

4

+1）=-

1

16

+

3

8

ln

3

4

＞-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-

3

4

，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-

1

4

有且只有一个实数根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：