发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-16 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω=
又曲线y=f（x）的一个对称中心为(
故f（
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象， 再将y=cosx的图象向右平移
∴g（x）=sinx． （2）当x∈（
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x， 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）， ∵x∈（
∴G′（x）＞0，G（x）在（
又G（
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0， 当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解， ∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=-
令h（x）=-
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x）=
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于-∞， 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞， 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞， 故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点； 当a＜-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点； 当-1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点； 由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点； 又当a=1或a=-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671， ∴依题意得n=671×2=1342． 综上，当a=1，n=1342，或a=-1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。