设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)（Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；（Ⅲ）设n=2，若对任意x1-数学试题及答案

1、试题题目：设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)（Ⅰ）当b＞0时，判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵fn(x)=xn+bx+c，
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在(

1

2

，1)上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在(

1

2

，1)单调递增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（

1

2

）=(

1

2

)n-

1

2

＜0，
∴f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-

b

2

≤-1或-

b

2

≥1，此时只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-

b

2

≤0，此时只需满足f₂（1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-

b

2

＜1，此时只需满足f₂（-1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)（Ⅰ）当b＞0时，判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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