已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间(-∞，a3)内单调递减，-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间(-∞，

a

3

)内单调递减，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
由f（x）+7a=0得ax²+2（1-a）x+4a=0②
∵方程②有两个相等的根，
∴△=4（1-a）²-16a²=0，
即3a²+2a-1=0解得a=-1或a=

1

3

由于a＜0，a=

1

3

（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x²+4x+3．
（2）g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在区间(-∞，

a

3

)内单调递减，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在(-∞，

a

3

)上的函数值非正，
由于a＜0，对称轴x=

2(a-1)

3a

＞0，
故g（x）≤g/(

a

3

)=

a3

3

+

4

3

a(1-a)-3a≤0
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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