已知函数f（x）=ax2+bx+1+lnx．（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间和极值；（Ⅱ）若f（x）在x=1，和x=12处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若在[14，2]上存在x0，使得f（x0）≤m恒成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx+1+lnx．（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx+1+lnx．
（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若在[

1

4

，2]上存在x₀，使得f（x₀）≤m恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=b=-1时，f′(x)=-2x-1+

1

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（2分）
由于x＞0，由f′（x）＞0即

(2x-1)(x+1)

x

＜0，可得0＜x＜

1

2

∴f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)，
又函数的单调减区间是（

1

2

，+∞）（4分）
∴f(x)极大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2，f（x）无极小值…（6分）
（Ⅱ）（1）f′（x）=

2ax2+bx+1

x

…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值
∴f′(1)=f′(

1

2

)=0…（8分）
∴

2a+b+1=0

a+b+2=0

∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-3x+1+lnx…（9分）
（2）由（1）得f′(x)=

(2x-1)(x+1)

x

．
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]单调递增．
x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]单调递减
x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）
∴f(x)极大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f(2)-f(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴f（x）_max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx+1+lnx．（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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