已知函数f（x）满足下列条件：（Ⅰ）定义域为[0，1]；（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；（Ⅲ）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）证明：对-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足下列条件：（Ⅰ）定义域为[0，1]；（Π）对于任意x∈[0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由函数f（x）满足条件（Π）知f（0）≥0；（1分）
在条件（Ⅲ）中，令x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），
∴f（0）≤0；（3分）
故f（0）=0．（4分）

（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有0≤y-x≤1成立；（5分）
由f（x）满足条件（Π）可得：f（y-x）≥0；（6分）
再由f（x）满足条件（Ⅲ）可得：
f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x）≥f（x），（8分）
即对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；（9分）

（3）当

1

2

≤x≤1时，2x≥1，
由第（2）问结论知f（x）≤f（1）=1，∴f（x）≤2x；
当x=0时，由f（0）=0知f（x）≤2x也成立；
故可猜想：当0≤x≤1时，f（x）≤2x（10分）
下面用反证法证明猜想成立：
假设存在x_°∈[0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
由f（0）=0知x₀≠0，故必存在正整数k
使得x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴x₀，2x₀，4x₀，，2^k-1x₀均在[0，1上，
由条件（Ⅲ）及假设知：
f（2x₀）=f（x₀+x₀）≥f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）＞4x₀，
故f（4x₀）＞8x₀，，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀；（12分）
∵x₀∈[

1

2k

，

1

2k-1

]，∴

1

2

≤2k-1x0≤1，∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1
又∵2^kx₀≥1，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀，
∴f（2^k-1x₀）＞1，与f（2^k-1x₀）≤1矛盾，故假设不成立；
所以对于任意的0≤x≤1，都有f（x）≤2x成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足下列条件：（Ⅰ）定义域为[0，1]；（Π）对于任意x∈[0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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