函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=1，得f（1?x₂）=f（1）+f（x₂）=f（x₂）
∴f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1?（-1））=f（-1）+f（-1）=f（1）=0
∴f（-1）=0
因此f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，∴f（16）=f（4?4）=f（4）+f（4）=2
因此，f（64）=f（16?4）=f（16）+f（4）=3
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且是偶函数
∴原不等式可化为-64≤（3x+1）（2x-6）≤64
解之得：-

7

3

≤x≤5
∵函数定义域为{x|x≠0}
∴（3x+1）（2x-6）≠0，得x≠-

1

3

且x≠3
综上所述，原不等式的解集为{x|：-

7

3

≤x≤5且x≠-

1

3

且x≠3}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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