已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)（n∈N*），求{an}的通项公式；（3）若数列{-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)（n∈N*），求{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹?a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=

1

2

，f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=

1

2

，
令x=

1

n

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
（2）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(0)②
由（Ⅰ），知f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=

n+1

2

．
（3）∵b_n=2ⁿ⁺¹?a_n，∴b_n=（n+1）?2ⁿ
∴S_n=2?2¹+3?2²+4?2³+…+（n+1）?2ⁿ，①
2S_n=2?2²+3?2³+4?2⁴+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）?2ⁿ⁺¹
即S_n=n?2ⁿ⁺¹
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，
即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4
设g（n）=kn²-2n-2
当k＞4时，由于对称轴直线n=

1

k

＜1，
且g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立
即当实数k大于4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：