已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；③f（n）∈N；④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（3）的值．（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．（3）证明你猜-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；③f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；
③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．（3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）：∵f（2）=f（2×1）=f（2）?f（1），又f（2）=2，∴f（1）=1．又∵f（4）=f（2?2）=f（2）?f（2）=4，2=f（2）＜f（3）＜f（4）=4，且f（3）∈N．∴f（3）=3．
（2）由f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3猜想f（n）=n（n∈N）．
（3）用数学归纳法证明：
①当n=1时，f（1）=1，函数解析式成立；
②假设n≤k时，f（k）=k，函数解析式成立；
（i）若k+1=2m（m∈N），f（k+1）=f（2m）=f（2）?f（m）=2m=k+1．
（ii）若k+1=2m+1（m∈N），f（2m+2）=f[2（m+1）]=f（2）?f（m+1）=2（m+1）=2m+2，2m=f（2m）＜f（2m+1）＜f（2m+2）=2m+2．∴f（2m+1）=2m+1=k+1．
即n=k+1时，函数解析式成立．
综合①②可知，f（n）=n（n∈N）成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）?f（y）；③f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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