函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）与f（-1）的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
则f(x2)=f(

x2

x1

?x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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