在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（2，0），B（-2，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-12．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（2，0），B（-2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（

2

，0），B（-

2

，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

试题来源：郑州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意

y

x-

2

?

y

x+

2

=-

1

2

，
整理得

x2

2

+y2=1，所以所求轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1(y≠0)，
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时M(1，

2

)，N(1，-

2

)，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±

2

，0)，不合题意；
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q(

x1+x2

2

，k(

x1+x2

2

-1))，
由

y=k(x-1)

x2

2

+y2=1

消y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由

x1=

4k2+

△

2(2k2+1)

x2=

4k2-

△

2(2k2+1)

得

x1+x2=

4k2

2k2+1

x1?x2=

2k2-2

2k2+1

所以Q(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，
则线段MN的中垂线m的方程为：y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
整理得直线m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
则直线m与y轴的交点R(0，

k

2k2+1

)，
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，
当且仅当RM⊥RN，
即

RM

?

RN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)?(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
x1x2+y1y2-

k

2k2+1

(y1+y2)+

k2

(2k2+1)2

=0，①
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-

k2

2k2+1

y1+y2=k(x1+x2-2)=-

2k

2k2+1

②
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1），
综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（2，0），B（-2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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