已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF2|=

5

3

（I）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．

试题来源：天津模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设点M为（x₁，y₁），
∵F₂是抛物线y²=4x的焦点，
∴F₂（1，0）；
又|MF₂|=

5

3

，由抛物线定义知
x₁+1=

5

3

，即x₁=

2

3

；
由M是C₁与C₂的交点，
∴y₁²=4x₁，即y₁=±

2

6

3

，这里取y₁=

2

6

3

；
又点M（

2

3

，

2

6

3

）在C₁上，
∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，且b²=a²-1，
∴9a⁴-37a²+4=0，∴a2=4或a2=

1

9

＜c2（舍去），
∴a²=4，b²=3；
∴椭圆C₁的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则

x+y=m

x2

4

+

y2

3

=1

∴消去y，得7x²-8mx+4m²-12=0；
∵点A、C在椭圆C₁上，
∴（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，即m²＜7，∴-

7

＜m＜

7

；
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8m

7

，y₁+y₂=（-x₁+m）+（-x₂+m）=-（x₁+x₂）+2m=-

8m

7

+2m=

6m

7

，
∴AC的中点坐标为(

4m

7

，

3m

7

)，
由菱形ABCD知，点(

4m

7

，

3m

7

)也在直线BD：7x-7y+1=0上，
即7×

4m

7

-7×

3m

7

+1=0，∴m=-1，由m=-1∈(-

7

，

7

)知：
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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