已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则

2c=2

2b=2

3

a2=b2+c2

解得

a=2

b=

3

∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由方程组

x

2

4

+

y2

3

=1

y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．（6分）
由题意△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0①（7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．（8分）
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．　　　　（10分）
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
也即(1+k2)?

4m2-12

3+4k2

+(km-2)?

-8km

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0．
解得m=-2k或m=-

2k

7

，均满足①（11分）
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去；
当m=-

2k

7

时，直线l的方程为y=k(x-

2

7

)，过定点(

2

7

，0)，
故直线l过定点，且定点的坐标为(

2

7

，0)．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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