已知斜率为-2的直线与椭圆C：x2a2+y2=1(a＞0)交于A，B两点，且线段AB的中点为E(12，12)．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且PM=λMQ，OP-数学试题及答案

1、试题题目：已知斜率为-2的直线与椭圆C：x2a2+y2=1(a＞0)交于A，B两点，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知斜率为-2的直线与椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)交于A，B两点，且线段AB的中点为E(

1

2

，

1

2

)．直线l₂与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且

PM

=λ

MQ

，

OP

+λ

OQ

=4

OM

，λ∈R．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=1，y1+y2=1，

y1-y2

x1-x2

=-2．
∵

x12

a2

+y12=1，

x22

a2

+y22=1，
∴两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，即

x1+x2

a2

+(y1+y2)

y1-y2

x1-x2

=0，即

1

a2

+1×(-2)=0，得a2=

1

2

，
所以椭圆C的方程为2x²+y²=1．
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m（∵l₂与y轴相交，∴l₂的斜率存在）．
由

PM

=λ

MQ

OP

+λ

OQ

=4

OM

，得

(-x3，m-y3)=λ(x4，y4-m)

(x3+λx4，y3+λy4)=(0，4m)

，得

-x3=λx4

y3+λy4=4m

，
即

x3=-λx4，①

(kx3+m)+λ(kx4+m)=4m，②

，将①代入②得（λ-3）m=0，
∵m≠0，∴λ=3．
（3）将y=kx+m代入2x²+y²=1，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
∵λ=3，
∴由

x3=-3x4

x3+x4=

-2km

k2+2

x3x4=

m2-1

k2+2

消去x₃、x₄得，k2=

2(1-m2)

4m2-1

．
由△＞0得k²＞2（m²-1），即

2(1-m2)

4m2-1

＞2（m²-1），即

(m2-1)m2

4m2-1

＜0，即

(m+1)(m-1)

(2m+1)(2m-1)

＜0，解得-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1．
所以m的取值范围为-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知斜率为-2的直线与椭圆C：x2a2+y2=1(a＞0)交于A，B两点，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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