在平面直角坐标系xOy中，已知F1（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离的2倍．设动点M的轨迹曲线为E．（1）求曲线E的轨迹方程．（2）设点F2（4，0），若直线m为曲线E-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，已知F1（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F1的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，已知F₁（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F₁的距离是它到定直线l距离的

2

倍．设动点M的轨迹曲线为E．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）设点F₂（4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F₁、F₂到m的距离分别为d₁，d₂，试判断d₁d₂是否为常数，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，设点M（x，y），则有|MF1|=

(x+4)2+y2

，点M（x，y）到直线的距离d=|x-（-2）|=|x+2|，故

(x+4)2+y2

=

2

|x+2|，化简后得：x²-y²=8．
故动点M的轨迹方程为x²-y²=8
（2）d₁d₂是常数，证明如下：
若切线m斜率不存在，则切线方程为x=±2

2

，此时d1d2=(c+a)(c-a)=b2=8
当切线m斜率存在时，设切线m：y=kx+b，代入x²-y²=8，整理得：x²-（kx+b）²=8，
∴（1-k²）x²-2bkx-（b²+8）=0
由△=（-2bk）²+4（1-k²）（b²+8）=0，化简得：b²=8k²-8
又由m：kx-y+b=0，∴d1=

|-4k+b|

k2+1

， d2=

|4k+b|

k2+1

，
∴d1d2=

|16k2-b2|

k2+1

=

|16k2-(8k2-8)|

k2+1

=8=常数．
综上，故对任意切线m，d₁d₂是常数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，已知F1（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F1的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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