已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为点D、E．（Ⅰ）求抛物线C的过程；（Ⅱ）若直线l-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为点D、E．
（Ⅰ）求抛物线C的过程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=m

AF

，

MB

=n

BF

，对任意的直线l，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴

p

2

=1，p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x（3分）
（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1)

y2=4x

?k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1?x2=1（7分）
又由

MA

=m

AF

，∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），∴x₁=m（1-x₁），
即m=

x1

1-x1

，同理n=

x2

1-x2

，（9分）
∴m+n=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1?x2

1-(x1+x2)+x1?x2

=-1
所以，对任意的直线l，m+n为定值-1（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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