经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l-数学试题及答案

1、试题题目：经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于

2

|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

试题来源：广州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故轨迹M的方程为x²=4y．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
设D（x₀，

1

4

x

20

），由导数的几何意义得直线l的斜率为k_BC=

1

2

x0，
则A（-x₀，

1

4

x

20

），设C（x₁，

1

4

x

21

），B（x₂，

1

4

x

22

）．
则k_BC=

1

4

x

21

-

1

4

x

22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC=

1

4

x

21

-

1

4

x

20

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
∴k_BC+_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

x1+x2-2x0

4

=0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）点D到直线AB的距离等于

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨设C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-

1

4

x

20

=-（x+x₀），与x²=-4y联立方程组，
解得B点的坐标为（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|．
∴△ABC的面积为

1

2

×2

2

|x₀+2|×2

2

|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
当x₀=3时，B（（-1，

1

4

），K_BC=

3

2

，直线BC的方程为6x-4y+7=0；
当x₀=-3时，B（（-7，

49

4

），K_BC=-

3

2

，直线BC的方程为6x+4y-7=0；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：