过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是_____

1、试题题目：过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x2+y2=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x²+y²=b²引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设点P（x₀，y₀），则以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0，
与⊙O的方程x²+y²=b²相减得x0x+y0y=b2，即是过切点A，B的直线方程，（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

b2

y0

，∴N(0，

b2

y0

)；令y=0，得x=

b2

x0

，∴M(

b2

x0

，0)．
∴|MN|=

(

b2

x0

)2+(

b2

y0

)2

=

b2

x

20

+

y

20

|x0y0|

，
点O到直线MN的距离d=

b2

x

20

+

y

20

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
∵点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2

x

20

+a2

y

20

≥2ab

x

20

y

20

=2ab|x₀y₀|，当且仅当|bx₀|=|ay₀|时取等号．
∴2|x₀y₀|≤ab，
∴S_△OMN≥

b4

ab

=

b3

a

．
故△MON面积的最小值是

b3

a

．
故答案为

b3

a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x2+y2=..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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