直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不-数学试题及答案

1、试题题目：直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（I）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²﹣y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

试题来源：四川省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²﹣y²=1后，
整理得（k²﹣2）x²+2kx+2=0．①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故

解得k的取值范围是﹣2＜k＜

．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则由①式得

②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x₁﹣c）（x₂﹣c）+y₁y₂=0．即（x₁﹣c）（x₂﹣c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k﹣c）（x₁+x₂）+c²+1=0．③
把②式及

代入③式化简得

．
解得

可知

使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B．（I）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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