已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3，…）；数列{bn}中，b1=1，点p（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn+12}的前n和为Sn，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3，…）；数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列 {b_n}中，b₁=1，点p（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n} 和 {b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

bn+1

2

}的前n和为S_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=a_n?b_n，求T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），…（1分）
即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ． …（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得

bn+1

2

=n，∴S_n=

n(n+1)

2

，…（6分）
∴

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（7分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

．…（9分）
（Ⅲ）∵cn=an?bn=(2n-1)?2n…（10分）
∵Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1…（11分）
两式相减得：-Tn=2+2×(22+23+24+…+2n)-(2n-1)2n+1
=-6-（2n-3）2ⁿ⁺¹…（13分）
∴Tn=6+(2n-3)2n+1…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，（n=1，2，3，…）；数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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