是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c）．-数学试题及答案

1、试题题目：是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

是否存在a、b、c使得等式1?2²+2?3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

（an²+bn+c）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有

4=

1

6

(a+b+c)

22=

1

2

(4a+2b+c)

70=9a+3b+c

解得：

a=3

b=11

c=10

．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1?2²+2?3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

(3n2+11n+10)
记S_n=1?2²+2?3²+…+n（n+1）²
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即S_k=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=

k(k+1)

12

（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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