在数列{an}中，a1=16，an=Sn-12+3+4+…+n(n≥2)其中Sn表示数列的前n项和．（Ⅰ）分别求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an的表达式，并予以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=16，an=Sn-12+3+4+…+n(n≥2)其中Sn表示数列的前..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)其中S_n表示数列的前n项和．
（Ⅰ）分别求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n的表达式，并予以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）因为a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)，
所以n=2时a2=

S1

2

=

1

12

，a2=

1

12

，
n=3时a3=

S2

2+3

=

a1+a2

2+3

=

1

6

+

1

12

5

=

1

20

，a3=

1

20

，
n=4时a4=

S3

2+3+4

=

a1+a2+a4

2+3+4

=

1

30

，a4=

1

30

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式an=

1

(n+1)(n+2)

…（5分）
以下用数学归纳法证明：①n=1时，a1=

1

6

，命题成立；
②假设n=k（k≥1）时成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

成立…（7分）
由已知ak=

Sk-1

2+3+4+…+k

推得：SK-1=(2+3+…+k)?ak=

(k-1)(k+2)

2

?

1

(k+1)(k+2)

=

k-1

2(k+1)

成立…（9分）
那么，当n=k+1时，ak+1=

Sk

2+3+…+k+(k+1)

=

Sk-1+ak

k(k+3)

2

=

k-1

2(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

k(k+3)

2

=

k(k+1)

k(k+1)(k+2)(k+3)

=

1

(k+2)(k+3)

则n=k+1时，an=

1

(n+1)(n+2)

也成立．…（14分）
综上可知，对任意n∈N，an=

1

(n+1)(n+2)

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=16，an=Sn-12+3+4+…+n(n≥2)其中Sn表示数列的前..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：